10. Sınıf Matematik · 1. dönem 1. yazılı · 10.1.3

10. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı: Üçgenin Alanı Soruları

Taban ve yüksekliğin değişiminin alana etkisi, paralel doğrular arasında ortak tabanlı üçgenler, sinüslü alan bağıntısı, benzer üçgenlerde alanlar oranı (harita ölçeği).

Son güncelleme: 20 Ekim 2026

Bir bakışta

Öğrenme çıktısı: 10.1.3
Bu sayfadaki soru: 3
Senaryolarda bu konudan: 1-2 soru

Resmî öğrenme çıktısı

Geometrik şekiller · Üçgenin Alanı

10.1.3. Üçgenin bir kenarı ve o kenara ait yüksekliğinin değişimine bağlı olarak alanının değişimine ilişkin çıkarım yapabilme

1. soru

Taban ve yükseklik değişince alan · 11 puan

Bir bahçede [AB] çiti 12 m’dir. Üçgen biçimli bir çiçek tarhının üçüncü köşesi, [AB]’ye paralel olan ve [AB]’ye 5 m uzaklıktaki d yolu üzerindeki K, L ya da M noktalarından birine konacaktır.

1.14 puan
ABK, ABL ve ABM üçgenlerinin alanlarını karşılaştırınız ve gerekçesini yazınız.
1.24 puan
Tasarım değişiyor: taban %20 uzatılıyor, tabana ait yükseklik %20 kısaltılıyor. Alan nasıl değişir? Önermenizi hesaplamayla gösteriniz.
1.33 puan
E noktası [AB] üzerinde ve |AE| : |EB| = 1 : 2’dir. A(AEL) : A(EBL) oranını gerekçesiyle bulunuz.

Çözümü ve puanlamayı göster

1.1 tam puan 4

Örnek çözüm

Üç üçgenin de tabanı [AB] = 12 m’dir. Üçüncü köşeler AB’ye paralel d doğrusu üzerinde olduğundan [AB]’ye ait yükseklikleri 5 m’dir. Alanların hepsi 12 · 5 / 2 = 30 m²’dir; eşittir.

Puanlama

Ortak taban ve eşit yükseklik gerekçesi2 puan
Alanların eşit ve 30 m² olduğunu bulmak2 puan

1.2 tam puan 4

Örnek çözüm

Yeni alan = (1,2 · 12)(0,8 · 5) / 2 = 14,4 · 4 / 2 = 28,8 m². Alan 1,2 · 0,8 = 0,96 katına iner; %4 azalır. Taban ve yükseklik aynı oranda zıt yönde değişse de alan değişmeden kalmaz.

Puanlama

Yeni alan 28,8 m²2 puan
Alanın 0,96 katına inip %4 azaldığını belirtmek2 puan

1.3 tam puan 3

Örnek çözüm

İki üçgenin L köşesinden [AB]’ye inen yüksekliği ortaktır. Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları tabanlarıyla orantılıdır: A(AEL) : A(EBL) = |AE| : |EB| = 1 : 2.

Puanlama

Ortak yüksekliği belirtmek1 puan
Oran 1 : 22 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

2. soru

Açısı değişen üçgen: sinüslü alan bağıntısı · 11 puan

Bir oyun alanında uzunlukları 10 m ve 8 m olan iki kenar çiti A noktasında menteşeyle birleştirilmiştir. Çitlerin uçları ip ile bağlanarak üçgen bir alan oluşturulmakta, çitler arasındaki θ açısı değiştirilebilmektedir.

2.14 puan
C’den [AB]’ye inen yüksekliği θ cinsinden yazarak alanın A(θ) = 40 · sinθ olduğunu gösteriniz; θ = 30° için alanı bulunuz.
2.24 puan
Alanın en büyük olması için θ kaç derece olmalıdır? En büyük alanı gerekçesiyle bulunuz.
2.33 puan
θ = 150° iken alan kaç m² olur? θ = 30° ile karşılaştırınız.

Çözümü ve puanlamayı göster

2.1 tam puan 4

Örnek çözüm

Yükseklik h = 8 · sinθ (C’den inen dikmenin oluşturduğu dik üçgende). A = 10 · h / 2 = 10 · 8 · sinθ / 2 = 40 · sinθ. θ = 30°: A = 40 · 1/2 = 20 m².

Puanlama

h = 8 · sinθ2 puan
A(θ) = 40 · sinθ ve θ = 30° için 20 m²2 puan

2.2 tam puan 4

Örnek çözüm

Dar ya da geniş her θ için 0 < sinθ ≤ 1’dir ve sinθ = 1 yalnızca θ = 90°’de olur. Bu durumda 8 m’lik kenar yüksekliğin kendisidir. En büyük alan 40 m².

Puanlama

θ = 90°2 puan
sinθ ≤ 1 gerekçesiyle en büyük alan 40 m²2 puan

2.3 tam puan 3

Örnek çözüm

Birim çemberde sin150° = sin(180° − 30°) = sin30° = 1/2. Alan 40 · 1/2 = 20 m²; θ = 30° ile aynıdır. Birbirini 180°’ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan alanlar eşittir.

Puanlama

sin150° = sin30° = 1/22 puan
Alan 20 m², 30° ile aynı olduğunu gerekçelendirmek1 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

3. soru

Harita ölçeği: benzer üçgenlerde alanlar oranı · 11 puan

Ölçeği 1 : 50 000 olan bir haritada üçgen biçimli bir gölün alanı 6 cm², gölün bir kıyı kenarının uzunluğu 4 cm’dir.

3.12 puan
Bu kıyı kenarının gerçek uzunluğunu kilometre cinsinden bulunuz.
3.25 puan
Gölün gerçek alanını km² cinsinden bulunuz. Hangi özelliği kullandığınızı açıklayınız.
3.34 puan
Bir öğrenci gerçek alanı 6 · 50 000 = 300 000 cm² = 30 m² olarak bulmuştur. Öğrencinin hatasını açıklayınız.

Çözümü ve puanlamayı göster

3.1 tam puan 2

Örnek çözüm

4 · 50 000 = 200 000 cm = 2000 m = 2 km.

Puanlama

2 km2 puan

3.2 tam puan 5

Örnek çözüm

Haritadaki üçgen gerçek gölle benzerdir; benzerlik oranı 50 000’dir. Benzer üçgenlerin alanları oranı benzerlik oranının karesidir: gerçek alan = 6 · 50 000² cm² = 6 · 25 · 10⁸ = 1,5 · 10¹⁰ cm² = 1,5 · 10⁶ m² = 1,5 km².

Puanlama

Alanlar oranının benzerlik oranının karesi olduğunu kullanmak3 puan
1,5 km² (birim dönüşümüyle)2 puan

3.3 tam puan 4

Örnek çözüm

Öğrenci uzunluklar için geçerli olan oranı alana uygulamıştır. Alan iki uzunluğun çarpımıyla hesaplandığından her iki uzunluk da 50 000 katına çıkar; alan 50 000 değil 50 000² katına çıkar. 30 m² bir gölün alanı olamayacak kadar küçüktür.

Puanlama

Uzunluk oranının alana doğrudan uygulandığını belirtmek2 puan
Alanın oranın karesiyle değiştiğini açıklamak2 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

Puanlar sorunun kendi içindeki dağılımını gösterir; senaryo kâğıdında tüm sorular birlikte 100 puana ölçeklenir.

Bu konunun geçtiği senaryo kâğıtları

Senaryo 1: 1 soru Senaryo 2: 1 soru Senaryo 3: 1 soru Senaryo 4: 2 soru Senaryo 5: 1 soru

Diğer konular

Sorular OYSS Rehber tarafından Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı’na göre hazırlanmış örneklerdir, resmî sınav sorusu değildir. Öğrenme çıktısı metni ÖDSGM konu soru dağılım tablosundan alınmıştır (kaynak).