10. Sınıf Matematik · 1. dönem 1. yazılı · 10.1.2

10. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı: Üçgende Yardımcı Elemanlar Soruları

Açıortay teoremi ve açıortay üzerindeki noktanın kollara uzaklığı, kenarortay ve ağırlık merkezi (2 : 1), kenar orta dikmeler ve çevrel çemberin merkezi.

Son güncelleme: 20 Ekim 2026

Bir bakışta

Öğrenme çıktısı: 10.1.2
Bu sayfadaki soru: 3
Senaryolarda bu konudan: 1-2 soru

Resmî öğrenme çıktısı

Geometrik şekiller · Üçgende Yardımcı Elemanlar

10.1.2. Üçgenin yardımcı elemanlarının özellikleri ile ilgili çıkarım yapabilme

1. soru

Üçgen park: açıortay teoremi ve iç teğet çember · 11 puan

Üçgen biçimli bir parkın kenar uzunlukları |AB| = 30 m, |AC| = 45 m ve |BC| = 50 m’dir. A köşesindeki açıyı iki eşit parçaya ayıran düz bir yürüyüş yolu yapılmış ve bu yol [BC] kenarını D noktasında kesmiştir.

1.14 puan
|BD| ve |DC| uzunluklarını açıortay teoremini kullanarak bulunuz.
1.24 puan
Yolun üzerine konan bir bankın [AB] ve [AC] çitlerine olan uzaklıklarının eşit olduğu söyleniyor. Bu önermeyi üçgenlerin eşliğiyle gerekçelendiriniz.
1.33 puan
Parkın üç kenarına da eşit uzaklıkta bir aydınlatma direği konacaktır. Direğin yerinin nasıl belirleneceğini açıklayınız.

Çözümü ve puanlamayı göster

1.1 tam puan 4

Örnek çözüm

İç açıortay teoremi: |BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 30/45 = 2/3. |BD| = 2k, |DC| = 3k, 5k = 50 ⇒ k = 10. |BD| = 20 m, |DC| = 30 m.

Puanlama

|BD| / |DC| = |AB| / |AC| oranını kurmak2 puan
|BD| = 20 m, |DC| = 30 m2 puan

1.2 tam puan 4

Örnek çözüm

Bank P noktasında olsun; P’den [AB]’ye ve [AC]’ye dikmeler [PE] ve [PF] olsun. AEP ve AFP dik üçgenlerinde m(EAP) = m(FAP) (açıortay) ve m(AEP) = m(AFP) = 90°; iç açılar toplamından m(APE) = m(APF) olur. [AP] ortak kenardır ve iki ucundaki açılar eşittir: A.K.A. eşliğinden AEP ≅ AFP, dolayısıyla |PE| = |PF|.

Puanlama

Dikmeleri çizip iki dik üçgeni belirlemek1 puan
Eşit açılar ve ortak kenar [AP] ile eşliği (A.K.A.) kurmak2 puan
|PE| = |PF| sonucuna ulaşmak1 puan

1.3 tam puan 3

Örnek çözüm

Bir açıortay üzerindeki noktalar o açının kollarına eşit uzaklıktadır. Üç iç açıortay tek bir noktada kesişir; bu nokta üç kenara da eşit uzaklıktadır (iç teğet çemberin merkezi). Direk, örneğin A ve B’deki iç açıortayların kesişim noktasına konur.

Puanlama

İç açıortayların kesişim noktasını belirtmek2 puan
Bu noktanın üç kenara eşit uzaklıkta olduğunu gerekçelendirmek1 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

2. soru

Dik üçgen levhanın ağırlık merkezi · 10 puan

Dik kenarları |CB| = 18 cm ve |CA| = 24 cm olan dik üçgen biçimli ince bir levha, yatay durması için ağırlık merkezi G’den tek bir iple asılacaktır. M, [AB] hipotenüsünün orta noktasıdır.

2.13 puan
[CM] kenarortayının uzunluğunu gerekçesiyle bulunuz.
2.24 puan
Ağırlık merkezinin dik açılı C köşesine uzaklığını bulunuz.
2.33 puan
Ağırlık merkezinin [CB] ve [CA] kenarlarına uzaklıklarını benzerlikten yararlanarak bulunuz.

Çözümü ve puanlamayı göster

2.1 tam puan 3

Örnek çözüm

|AB|² = 18² + 24² = 900 ⇒ |AB| = 30 cm. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir (M, çevrel çemberin merkezidir ve |MA| = |MB| = |MC|): |CM| = 15 cm.

Puanlama

|AB| = 30 cm1 puan
Hipotenüse ait kenarortayın hipotenüsün yarısı olduğunu kullanıp |CM| = 15 cm bulmak2 puan

2.2 tam puan 4

Örnek çözüm

Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler: |CG| = 23 · 15 = 10 cm, |GM| = 5 cm.

Puanlama

2 : 1 oranını kullanmak2 puan
|CG| = 10 cm2 puan

2.3 tam puan 3

Örnek çözüm

M’nin [CB]’ye uzaklığı |CA|/2 = 12 cm, [CA]’ya uzaklığı |CB|/2 = 9 cm’dir (M hipotenüsün orta noktası; temel orantı). G, [CM] üzerinde ve |CG| / |CM| = 2/3 olduğundan benzer dik üçgenlerden G’nin uzaklıkları bu değerlerin 2/3’üdür: [CB]’ye 8 cm, [CA]’ya 6 cm.

Puanlama

M’nin kenarlara uzaklıklarını (12 ve 9 cm) bulmak1 puan
2/3 benzerlik oranıyla G’nin uzaklıklarını 8 cm ve 6 cm bulmak2 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

3. soru

Üç köye eşit uzaklıkta su deposu: çevrel çember · 11 puan

A, B ve C köylerini birleştiren yollar düzdür. A ile B arası 6 km, B ile C arası 8 km’dir ve bu iki yol B’de dik açı yapar. Üç köye de eşit uzaklıkta bir su deposu yapılacaktır.

3.14 puan
Deponun yerini belirlemek için hangi yardımcı elemanlar kullanılmalıdır? Gerekçesiyle açıklayınız.
3.24 puan
Deponun yerini bu üçgende belirleyiniz ve köylere uzaklığını bulunuz.
3.33 puan
Köyleri birleştiren üçgen geniş açılı olsaydı depo üçgenin neresinde olurdu? Açıklayınız.

Çözümü ve puanlamayı göster

3.1 tam puan 4

Örnek çözüm

Bir kenar orta dikmesi üzerindeki her nokta o kenarın uç noktalarına eşit uzaklıktadır. [AB] ve [BC]’nin kenar orta dikmelerinin kesişim noktası A, B ve C’ye eşit uzaklıktadır (üçüncü kenar orta dikme de bu noktadan geçer). Bu nokta çevrel çemberin merkezidir.

Puanlama

Kenar orta dikmeleri belirtmek2 puan
Kenar orta dikme üzerindeki noktanın uçlara eşit uzaklıkta olduğunu gerekçe göstermek2 puan

3.2 tam puan 4

Örnek çözüm

|AC|² = 6² + 8² = 100 ⇒ |AC| = 10 km. Dik üçgende çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır (hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır). Depo [AC]’nin orta noktası O’ya yapılır; her köye uzaklığı 5 km’dir.

Puanlama

Deponun hipotenüsün orta noktasında olduğunu gerekçelendirmek2 puan
Uzaklık 5 km2 puan

3.3 tam puan 3

Örnek çözüm

Geniş açılı üçgende kenar orta dikmeler üçgenin dışında, en uzun kenarın öbür yanında kesişir; depo üçgensel bölgenin dışında kalır.

Puanlama

Üçgenin dışında (en uzun kenarın öbür yanında) olduğunu belirtmek3 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

Puanlar sorunun kendi içindeki dağılımını gösterir; senaryo kâğıdında tüm sorular birlikte 100 puana ölçeklenir.

Bu konunun geçtiği senaryo kâğıtları

Senaryo 1: 1 soru Senaryo 2: 1 soru Senaryo 3: 2 soru Senaryo 4: 2 soru Senaryo 5: 2 soru

Diğer konular

Sorular OYSS Rehber tarafından Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı’na göre hazırlanmış örneklerdir, resmî sınav sorusu değildir. Öğrenme çıktısı metni ÖDSGM konu soru dağılım tablosundan alınmıştır (kaynak).