10. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Soruları: Senaryo 2

|BC|² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04 ⇒ |BC| = 4,8 m. sinα = 4,8/5 = 2425, cosα = 1,4/5 = 725, tanα = 247, cotα = 724.

(24/25)² + (7/25)² = (576 + 49)/625 = 625/625 = 1 ve (24/7) · (7/24) = 1.

Dik kenarları a (α’nın karşısı), b (komşu), hipotenüsü c olan dik üçgende sinα = a/c, cosα = b/c. sin²α + cos²α = (a² + b²)/c² = c²/c² = 1 (Pisagor: a² + b² = c²). tanα · cotα = (a/b) · (b/a) = 1.

Hipotenüs (merdiven) 5 m’de sabit kalır. Alt uç yaklaşınca komşu kenar kısalır, yükseklik uzar; α büyür. sinα = yükseklik/5 büyür, cosα = taban/5 küçülür.

sinx = a/c, cosx = b/c ⇒ sinx / cosx = (a/c) / (b/c) = a/b = tanx.

sin²x + cos²x = 1 ⇒ 1 − cos²x = sin²x. (1 − cos²x) / (sinx · cosx) = sin²x / (sinx · cosx) = sinx / cosx = tanx.

tanx + cotx = sinx/cosx + cosx/sinx = (sin²x + cos²x) / (sinx · cosx) = 1 / (sinx · cosx).

x = 45°: sol taraf 1 + 1 = 2; sağ taraf 1 / ((√2/2) · (√2/2)) = 1 / (1/2) = 2.

Yükseklik tabanı ortalar: |BH| = 1, m(ABH) = 60°, m(BAH) = 30°. |AH| = √2² − 1² = √3. sin30° = cos60° = 1/2; cos30° = sin60° = √3/2; tan30° = 1/√3 = √3/3; tan60° = √3.

Köşegen karenin açısını ikiye böler: m(LKM) = 45°. |KM| = √1² + 1² = √2. sin45° = cos45° = 1/√2 = √2/2, tan45° = 1.

Simetri nedeniyle yarı genişlik 4 m. h = 4 · tan30° = 4√3/3 ≈ 4 · 1,73 / 3 ≈ 2,31 m.

|AB|² = 18² + 24² = 900 ⇒ |AB| = 30 cm. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir (M, çevrel çemberin merkezidir ve |MA| = |MB| = |MC|): |CM| = 15 cm.

Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler: |CG| = 23 · 15 = 10 cm, |GM| = 5 cm.

M’nin [CB]’ye uzaklığı |CA|/2 = 12 cm, [CA]’ya uzaklığı |CB|/2 = 9 cm’dir (M hipotenüsün orta noktası; temel orantı). G, [CM] üzerinde ve |CG| / |CM| = 2/3 olduğundan benzer dik üçgenlerden G’nin uzaklıkları bu değerlerin 2/3’üdür: [CB]’ye 8 cm, [CA]’ya 6 cm.

Yükseklik h = 8 · sinθ (C’den inen dikmenin oluşturduğu dik üçgende). A = 10 · h / 2 = 10 · 8 · sinθ / 2 = 40 · sinθ. θ = 30°: A = 40 · 1/2 = 20 m².

Dar ya da geniş her θ için 0 < sinθ ≤ 1’dir ve sinθ = 1 yalnızca θ = 90°’de olur. Bu durumda 8 m’lik kenar yüksekliğin kendisidir. En büyük alan 40 m².

Birim çemberde sin150° = sin(180° − 30°) = sin30° = 1/2. Alan 40 · 1/2 = 20 m²; θ = 30° ile aynıdır. Birbirini 180°’ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan alanlar eşittir.

Üç ifade aynı alanı verdiğinden ½bc · sinA = ½ac · sinB ⇒ b · sinA = a · sinB ⇒ a / sinA = b / sinB. Benzer şekilde ½ac · sinB = ½ab · sinC ⇒ c · sinB = b · sinC ⇒ b / sinB = c / sinC.

m(PSQ) = 180° − 75° − 45° = 60°. Sinüs teoremi: |PS| / sin45° = |PQ| / sin60° ⇒ |PS| = 10 · (√2/2) / (√3/2) = 10√2/√3 = 10√6/3 ≈ 8,17 km (√6 ≈ 2,45 ile; daha hassas değer 8,16 km).

Ali farklı büyüklükteki iki grubu ham sayılarla karşılaştırmıştır. Spor yapmayan grup 120, spor yapan grup 40 kişidir; spor yapmayanların sayısı fazla olduğu için her hücrede sayıları da fazla çıkar. Karşılaştırma her grubun kendi toplamına göre oranlarla (koşullu göreli sıklıklarla) yapılmalıdır.

Spor yapanlar: iyi 26/40 = %65, kötü %35. Spor yapmayanlar: iyi 54/120 = %45, kötü %55.

Spor yapanlarda uyku kalitesi iyi olanların oranı (%65), yapmayanlardakinden (%45) yüksektir; değişkenler ilişkilidir ve Ali’nin sonucu yanlıştır. Ancak bu, sporun uykuyu iyileştirdiğini kanıtlamaz (ilişkililik neden-sonuç değildir; yaş, ders yükü gibi başka etkenler olabilir).