10. Sınıf Matematik · 1. dönem 1. yazılı · 10.1.4

10. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı: Sinüs ve Kosinüs Teoremleri Soruları

Sinüs teoremini alan formülüyle doğrulama, kosinüs teoremini Pisagor ile ispatlama; ölçülemeyen uzaklıkları bulma ve üçgenin dar, dik ya da geniş açılı olduğunu belirleme.

Son güncelleme: 20 Ekim 2026

Bir bakışta

Öğrenme çıktısı: 10.1.4
Bu sayfadaki soru: 3
Senaryolarda bu konudan: 1-2 soru

Resmî öğrenme çıktısı

Geometrik şekiller · Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

10.1.4. Sinüs ve kosinüs teoremlerini doğrulayabilme veya ispatlayabilme

1. soru

Kosinüs teoremini ispatla, gölün genişliğini bul · 10 puan

ABC üçgeninde |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c’dir. C’den [AB]’ye inen dikmenin ayağı H, |CH| = h’dir. (A açısı dar ve H, [AB] üzerindedir.)

1.16 puan
AHC ve BHC dik üçgenlerinde Pisagor teoremini kullanarak a² = b² + c² − 2bc · cosA olduğunu ispatlayınız.
1.24 puan
Bir gölün iki ucu B ve C arasındaki uzaklık doğrudan ölçülememektedir. Kıyıdaki A noktasından |AB| = 300 m, |AC| = 500 m ve m(BAC) = 120° ölçülmüştür.
|BC| uzaklığını bulunuz.

Çözümü ve puanlamayı göster

1.1 tam puan 6

Örnek çözüm

AHC dik üçgeninde |AH| = b · cosA ve h = b · sinA.

|HB| = c − b · cosA. BHC dik üçgeninde Pisagor: a² = h² + |HB|² = b²sin²A + (c − b · cosA)².

a² = b²sin²A + c² − 2bc · cosA + b²cos²A = b²(sin²A + cos²A) + c² − 2bc · cosA = b² + c² − 2bc · cosA.

Puanlama

|AH| = b · cosA ve h = b · sinA yazmak2 puan
BHC üçgeninde a² = h² + (c − b · cosA)² kurmak2 puan
sin²A + cos²A = 1 ile sonuca ulaşmak2 puan

1.2 tam puan 4

Örnek çözüm

Birim çemberde cos120° = −1/2. |BC|² = 300² + 500² − 2 · 300 · 500 · (−1/2) = 90 000 + 250 000 + 150 000 = 490 000 ⇒ |BC| = 700 m.

Puanlama

cos120° = −1/2 ile kosinüs teoremini kurmak2 puan
|BC| = 700 m2 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

2. soru

Sinüs teoremini doğrula, gemiye uzaklığı bul · 10 puan

ABC üçgeninde |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c’dir.

2.15 puan
Üçgenin alanını A(ABC) = ½ · b · c · sinA = ½ · a · c · sinB = ½ · a · b · sinC biçimlerinde yazarak a / sinA = b / sinB = c / sinC olduğunu doğrulayınız.
2.25 puan
Kıyıdaki P ve Q gözlem istasyonları arası 10 km’dir. Bir gemi S noktasındadır; m(SPQ) = 75° ve m(SQP) = 45° ölçülmüştür.
Geminin P istasyonuna uzaklığını bulunuz (√6 ≈ 2,45).

Çözümü ve puanlamayı göster

2.1 tam puan 5

Örnek çözüm

Üç ifade aynı alanı verdiğinden ½bc · sinA = ½ac · sinB ⇒ b · sinA = a · sinB ⇒ a / sinA = b / sinB. Benzer şekilde ½ac · sinB = ½ab · sinC ⇒ c · sinB = b · sinC ⇒ b / sinB = c / sinC.

Puanlama

İki alan ifadesini eşitleyip a / sinA = b / sinB elde etmek3 puan
Üçüncü oranı da aynı yolla göstermek2 puan

2.2 tam puan 5

Örnek çözüm

m(PSQ) = 180° − 75° − 45° = 60°. Sinüs teoremi: |PS| / sin45° = |PQ| / sin60° ⇒ |PS| = 10 · (√2/2) / (√3/2) = 10√2/√3 = 10√6/3 ≈ 8,17 km (√6 ≈ 2,45 ile; daha hassas değer 8,16 km).

Puanlama

m(PSQ) = 60°1 puan
|PS| / sin45° = 10 / sin60° oranını kurmak2 puan
|PS| = 10√6/3 ≈ 8,17 km2 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

3. soru

Kenarları bilinen üçgen: dar mı, geniş mi? · 10 puan

Uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 9 cm olan üç çubukla üçgen biçiminde bir çerçeve yapılmıştır. En uzun çubuğun karşısındaki açı θ’dır.

3.14 puan
Kosinüs teoremini kullanarak cosθ değerini bulunuz.
3.23 puan
Üçgenin dar, dik ya da geniş açılı olduğunu iki farklı gerekçeyle belirleyiniz.
3.33 puan
5 ve 7 cm’lik çubuklar kalmak koşuluyla 9 cm’lik çubuk yerine kaç cm’lik bir çubuk kullanılırsa dik üçgen elde edilir?

Çözümü ve puanlamayı göster

3.1 tam puan 4

Örnek çözüm

9² = 5² + 7² − 2 · 5 · 7 · cosθ ⇒ 81 = 74 − 70cosθ ⇒ cosθ = −7/70 = −1/10.

Puanlama

Kosinüs teoremini doğru kenarlarla kurmak2 puan
cosθ = −1/102 puan

3.2 tam puan 3

Örnek çözüm

Geniş açılıdır. 1) cosθ < 0 olduğundan θ geniş açıdır (birim çemberde kosinüsü negatif olan açılar 90° ile 180° arasındadır). 2) 9² = 81 > 5² + 7² = 74; en uzun kenarın karesi diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.

Puanlama

Geniş açılı olduğunu belirtmek1 puan
cosθ < 0 gerekçesi1 puan
81 > 74 karşılaştırması1 puan

3.3 tam puan 3

Örnek çözüm

İki durum vardır. Yeni çubuk hipotenüs olursa (θ = 90°, cosθ = 0): x² = 5² + 7² = 74 ⇒ x = √74 ≈ 8,6 cm. 7 cm’lik çubuk hipotenüs olursa: x² + 5² = 7² ⇒ x² = 24 ⇒ x = 2√6 ≈ 4,9 cm.

Puanlama

Yeni çubuk hipotenüs: x = √74 ≈ 8,6 cm2 puan
7 cm hipotenüs: x = 2√6 ≈ 4,9 cm (ikinci durumu fark etmek)1 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

Puanlar sorunun kendi içindeki dağılımını gösterir; senaryo kâğıdında tüm sorular birlikte 100 puana ölçeklenir.

Bu konunun geçtiği senaryo kâğıtları

Senaryo 1: 1 soru Senaryo 2: 1 soru Senaryo 3: 1 soru Senaryo 4: 2 soru Senaryo 5: 1 soru

Diğer konular

Sorular OYSS Rehber tarafından Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı’na göre hazırlanmış örneklerdir, resmî sınav sorusu değildir. Öğrenme çıktısı metni ÖDSGM konu soru dağılım tablosundan alınmıştır (kaynak).