10. Sınıf Matematik · 1. dönem 1. yazılı · 10.1.1

10. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar Soruları

Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant; sin²x + cos²x = 1 ve tanx · cotx = 1 özdeşlikleri; 30°, 45°, 60° oranları; merdiven, dron ve çatı gibi bağlamlarda kullanım.

Son güncelleme: 20 Ekim 2026

Bir bakışta

Öğrenme çıktısı: 10.1.1
Bu sayfadaki soru: 4
Senaryolarda bu konudan: 2-3 soru

Resmî öğrenme çıktısı

Geometrik şekiller · Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler

10.1.1. Dik üçgende trigonometrik oranlara (sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant) ve trigonometrik özdeşliklere ilişkin çıkarım yapabilme

1. soru

Duvara dayalı merdiven: oranlar ve özdeşlikler · 12 puan

5 m uzunluğundaki bir merdiven, alt ucu duvardan 1,4 m uzakta olacak şekilde dik bir duvara dayanmıştır. Merdivenin yerle yaptığı açı α’dır.

1.14 puan
Merdivenin duvara değdiği yüksekliği bulunuz; sinα, cosα, tanα ve cotα değerlerini yazınız.
1.25 puan
Bulduğunuz değerlerle sin²α + cos²α ve tanα · cotα değerlerini hesaplayınız. Bu sonuçların her dar açı için geçerli olduğunu bir dik üçgenin kenarları a, b, c ile gösteriniz.
1.33 puan
Merdivenin alt ucu duvara yaklaştırılırsa α, sinα ve cosα nasıl değişir? Gerekçesiyle açıklayınız.

Çözümü ve puanlamayı göster

1.1 tam puan 4

Örnek çözüm

|BC|² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04 ⇒ |BC| = 4,8 m. sinα = 4,8/5 = 2425, cosα = 1,4/5 = 725, tanα = 247, cotα = 724.

Puanlama

Yükseklik 4,8 m (Pisagor)1 puan
sinα = 24/25 ve cosα = 7/252 puan
tanα = 24/7 ve cotα = 7/241 puan

1.2 tam puan 5

Örnek çözüm

(24/25)² + (7/25)² = (576 + 49)/625 = 625/625 = 1 ve (24/7) · (7/24) = 1.

Dik kenarları a (α’nın karşısı), b (komşu), hipotenüsü c olan dik üçgende sinα = a/c, cosα = b/c. sin²α + cos²α = (a² + b²)/c² = c²/c² = 1 (Pisagor: a² + b² = c²). tanα · cotα = (a/b) · (b/a) = 1.

Puanlama

Sayısal olarak 1 ve 1 bulmak2 puan
sin²α + cos²α = 1’i Pisagor ile genel olarak göstermek2 puan
tanα · cotα = 1’i genel olarak göstermek1 puan

1.3 tam puan 3

Örnek çözüm

Hipotenüs (merdiven) 5 m’de sabit kalır. Alt uç yaklaşınca komşu kenar kısalır, yükseklik uzar; α büyür. sinα = yükseklik/5 büyür, cosα = taban/5 küçülür.

Puanlama

α’nın büyüdüğünü belirtmek1 puan
sinα’nın arttığını, cosα’nın azaldığını kenar oranlarıyla gerekçelendirmek2 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

2. soru

Trigonometrik özdeşlikleri ispatlama · 11 puan

Aşağıdaki ABC dik üçgeninde m(C) = 90°, m(A) = x’tir; kenar uzunlukları |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c’dir.

2.13 puan
Kenar oranlarını kullanarak tanx = sinx / cosx olduğunu gösteriniz.
2.24 puan
(1 − cos²x) / (sinx · cosx) = tanx özdeşliğini ispatlayınız.
2.34 puan
tanx + cotx = 1 / (sinx · cosx) özdeşliğini ispatlayınız ve x = 45° için iki tarafı hesaplayarak doğrulayınız.

Çözümü ve puanlamayı göster

2.1 tam puan 3

Örnek çözüm

sinx = a/c, cosx = b/c ⇒ sinx / cosx = (a/c) / (b/c) = a/b = tanx.

Puanlama

sinx ve cosx’i kenarlarla yazmak1 puan
Bölümün a/b = tanx olduğunu göstermek2 puan

2.2 tam puan 4

Örnek çözüm

sin²x + cos²x = 1 ⇒ 1 − cos²x = sin²x. (1 − cos²x) / (sinx · cosx) = sin²x / (sinx · cosx) = sinx / cosx = tanx.

Puanlama

1 − cos²x = sin²x dönüşümü2 puan
Sadeleştirip tanx’e ulaşmak2 puan

2.3 tam puan 4

Örnek çözüm

tanx + cotx = sinx/cosx + cosx/sinx = (sin²x + cos²x) / (sinx · cosx) = 1 / (sinx · cosx).

x = 45°: sol taraf 1 + 1 = 2; sağ taraf 1 / ((√2/2) · (√2/2)) = 1 / (1/2) = 2.

Puanlama

Paydaları eşitleyip sin²x + cos²x = 1’i kullanmak3 puan
x = 45° için iki tarafın 2 olduğunu göstermek1 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

3. soru

Dron gözlemi: tanjanttan yükseklik ve uzaklık · 11 puan

Düz bir arazide O noktasındaki bir gözlemci, kendisinden yatayda 120 m uzaktaki bir dronu görmektedir. Gözlemcinin bakış doğrultusu yerle α açısı yapmakta ve tanα = 512’dir. (Gözlemcinin boyu önemsenmeyecektir.)

3.14 puan
Dronun yerden yüksekliğini ve gözlemciye olan uzaklığını (|OD|) bulunuz.
3.24 puan
Dron aynı düşey doğrultuda 30 m daha yükselerek D′ noktasına geliyor; bakış açısı β oluyor. tanβ’yı bulunuz ve bakış açısının büyüyüp küçüldüğünü gerekçesiyle açıklayınız.
3.33 puan
sinβ değerini bulunuz.

Çözümü ve puanlamayı göster

3.1 tam puan 4

Örnek çözüm

tanα = |DH| / |OH| ⇒ |DH| = 120 · 5/12 = 50 m. |OD|² = 120² + 50² = 14 400 + 2500 = 16 900 ⇒ |OD| = 130 m.

Puanlama

Yükseklik 50 m2 puan
|OD| = 130 m2 puan

3.2 tam puan 4

Örnek çözüm

Yeni yükseklik 80 m: tanβ = 80/120 = 2/3. 2/3 > 5/12 olduğundan tanjant artmıştır. Komşu kenar (120 m) sabitken karşı kenar uzadığı için dik üçgendeki dar açı büyür: β > α.

Puanlama

tanβ = 2/32 puan
Açının büyüdüğünü kenar değişimiyle gerekçelendirmek2 puan

3.3 tam puan 3

Örnek çözüm

|OD′|² = 120² + 80² = 20 800 ⇒ |OD′| = 40√13 m. sinβ = 80 / (40√13) = 2/√13 = 2√13/13 ≈ 0,55.

Puanlama

|OD′| = 40√13 m1 puan
sinβ = 2√13/132 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

4. soru

Özel açıların oranları: eşkenar üçgen ve kare · 12 puan

Kenar uzunluğu 2 birim olan ABC eşkenar üçgeninde [AH] yüksekliği çizilmiştir. Kenar uzunluğu 1 birim olan KLMN karesinde [KM] köşegeni çizilmiştir.

4.15 puan
ABH üçgeninden yararlanarak 30° ve 60°’nin sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerini bulunuz.
4.23 puan
KLM üçgeninden yararlanarak 45°’nin sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerini bulunuz.
4.34 puan
Genişliği 8 m olan simetrik bir çatının iki yüzü de yatayla 30° açı yapmaktadır. Çatının en yüksek noktasının, çatının tabanına uzaklığını bulunuz (√3 ≈ 1,73).

Çözümü ve puanlamayı göster

4.1 tam puan 5

Örnek çözüm

Yükseklik tabanı ortalar: |BH| = 1, m(ABH) = 60°, m(BAH) = 30°. |AH| = √2² − 1² = √3. sin30° = cos60° = 1/2; cos30° = sin60° = √3/2; tan30° = 1/√3 = √3/3; tan60° = √3.

Puanlama

|BH| = 1, |AH| = √3 ve açıların 30°/60° olduğunu belirlemek2 puan
30° ve 60°’nin sinüs ve kosinüs değerleri2 puan
tan30° = √3/3 ve tan60° = √31 puan

4.2 tam puan 3

Örnek çözüm

Köşegen karenin açısını ikiye böler: m(LKM) = 45°. |KM| = √1² + 1² = √2. sin45° = cos45° = 1/√2 = √2/2, tan45° = 1.

Puanlama

|KM| = √21 puan
sin45° = cos45° = √2/2 ve tan45° = 12 puan

4.3 tam puan 4

Örnek çözüm

Simetri nedeniyle yarı genişlik 4 m. h = 4 · tan30° = 4√3/3 ≈ 4 · 1,73 / 3 ≈ 2,31 m.

Puanlama

Yarı genişlik 4 m ile tan30°’yi kullanmak2 puan
h = 4√3/3 ≈ 2,31 m2 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

Puanlar sorunun kendi içindeki dağılımını gösterir; senaryo kâğıdında tüm sorular birlikte 100 puana ölçeklenir.

Bu konunun geçtiği senaryo kâğıtları

Senaryo 1: 2 soru Senaryo 2: 3 soru Senaryo 3: 3 soru Senaryo 4: 2 soru Senaryo 5: 2 soru

Diğer konular

Sorular OYSS Rehber tarafından Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı’na göre hazırlanmış örneklerdir, resmî sınav sorusu değildir. Öğrenme çıktısı metni ÖDSGM konu soru dağılım tablosundan alınmıştır (kaynak).