10. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Soruları: Senaryo 4

tanα = |DH| / |OH| ⇒ |DH| = 120 · 5/12 = 50 m. |OD|² = 120² + 50² = 14 400 + 2500 = 16 900 ⇒ |OD| = 130 m.

Yeni yükseklik 80 m: tanβ = 80/120 = 2/3. 2/3 > 5/12 olduğundan tanjant artmıştır. Komşu kenar (120 m) sabitken karşı kenar uzadığı için dik üçgendeki dar açı büyür: β > α.

|OD′|² = 120² + 80² = 20 800 ⇒ |OD′| = 40√13 m. sinβ = 80 / (40√13) = 2/√13 = 2√13/13 ≈ 0,55.

Yükseklik tabanı ortalar: |BH| = 1, m(ABH) = 60°, m(BAH) = 30°. |AH| = √2² − 1² = √3. sin30° = cos60° = 1/2; cos30° = sin60° = √3/2; tan30° = 1/√3 = √3/3; tan60° = √3.

Köşegen karenin açısını ikiye böler: m(LKM) = 45°. |KM| = √1² + 1² = √2. sin45° = cos45° = 1/√2 = √2/2, tan45° = 1.

Simetri nedeniyle yarı genişlik 4 m. h = 4 · tan30° = 4√3/3 ≈ 4 · 1,73 / 3 ≈ 2,31 m.

İç açıortay teoremi: |BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 30/45 = 2/3. |BD| = 2k, |DC| = 3k, 5k = 50 ⇒ k = 10. |BD| = 20 m, |DC| = 30 m.

Bank P noktasında olsun; P’den [AB]’ye ve [AC]’ye dikmeler [PE] ve [PF] olsun. AEP ve AFP dik üçgenlerinde m(EAP) = m(FAP) (açıortay) ve m(AEP) = m(AFP) = 90°; iç açılar toplamından m(APE) = m(APF) olur. [AP] ortak kenardır ve iki ucundaki açılar eşittir: A.K.A. eşliğinden AEP ≅ AFP, dolayısıyla |PE| = |PF|.

Bir açıortay üzerindeki noktalar o açının kollarına eşit uzaklıktadır. Üç iç açıortay tek bir noktada kesişir; bu nokta üç kenara da eşit uzaklıktadır (iç teğet çemberin merkezi). Direk, örneğin A ve B’deki iç açıortayların kesişim noktasına konur.

|AB|² = 18² + 24² = 900 ⇒ |AB| = 30 cm. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir (M, çevrel çemberin merkezidir ve |MA| = |MB| = |MC|): |CM| = 15 cm.

Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler: |CG| = 23 · 15 = 10 cm, |GM| = 5 cm.

M’nin [CB]’ye uzaklığı |CA|/2 = 12 cm, [CA]’ya uzaklığı |CB|/2 = 9 cm’dir (M hipotenüsün orta noktası; temel orantı). G, [CM] üzerinde ve |CG| / |CM| = 2/3 olduğundan benzer dik üçgenlerden G’nin uzaklıkları bu değerlerin 2/3’üdür: [CB]’ye 8 cm, [CA]’ya 6 cm.

Üç üçgenin de tabanı [AB] = 12 m’dir. Üçüncü köşeler AB’ye paralel d doğrusu üzerinde olduğundan [AB]’ye ait yükseklikleri 5 m’dir. Alanların hepsi 12 · 5 / 2 = 30 m²’dir; eşittir.

Yeni alan = (1,2 · 12)(0,8 · 5) / 2 = 14,4 · 4 / 2 = 28,8 m². Alan 1,2 · 0,8 = 0,96 katına iner; %4 azalır. Taban ve yükseklik aynı oranda zıt yönde değişse de alan değişmeden kalmaz.

İki üçgenin L köşesinden [AB]’ye inen yüksekliği ortaktır. Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları tabanlarıyla orantılıdır: A(AEL) : A(EBL) = |AE| : |EB| = 1 : 2.

Yükseklik h = 8 · sinθ (C’den inen dikmenin oluşturduğu dik üçgende). A = 10 · h / 2 = 10 · 8 · sinθ / 2 = 40 · sinθ. θ = 30°: A = 40 · 1/2 = 20 m².

Dar ya da geniş her θ için 0 < sinθ ≤ 1’dir ve sinθ = 1 yalnızca θ = 90°’de olur. Bu durumda 8 m’lik kenar yüksekliğin kendisidir. En büyük alan 40 m².

Birim çemberde sin150° = sin(180° − 30°) = sin30° = 1/2. Alan 40 · 1/2 = 20 m²; θ = 30° ile aynıdır. Birbirini 180°’ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan alanlar eşittir.

AHC dik üçgeninde |AH| = b · cosA ve h = b · sinA.

|HB| = c − b · cosA. BHC dik üçgeninde Pisagor: a² = h² + |HB|² = b²sin²A + (c − b · cosA)².

a² = b²sin²A + c² − 2bc · cosA + b²cos²A = b²(sin²A + cos²A) + c² − 2bc · cosA = b² + c² − 2bc · cosA.

Birim çemberde cos120° = −1/2. |BC|² = 300² + 500² − 2 · 300 · 500 · (−1/2) = 90 000 + 250 000 + 150 000 = 490 000 ⇒ |BC| = 700 m.

Üç ifade aynı alanı verdiğinden ½bc · sinA = ½ac · sinB ⇒ b · sinA = a · sinB ⇒ a / sinA = b / sinB. Benzer şekilde ½ac · sinB = ½ab · sinC ⇒ c · sinB = b · sinC ⇒ b / sinB = c / sinC.

m(PSQ) = 180° − 75° − 45° = 60°. Sinüs teoremi: |PS| / sin45° = |PQ| / sin60° ⇒ |PS| = 10 · (√2/2) / (√3/2) = 10√2/√3 = 10√6/3 ≈ 8,17 km (√6 ≈ 2,45 ile; daha hassas değer 8,16 km).