10. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Soruları: Senaryo 5

|BC|² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04 ⇒ |BC| = 4,8 m. sinα = 4,8/5 = 2425, cosα = 1,4/5 = 725, tanα = 247, cotα = 724.

(24/25)² + (7/25)² = (576 + 49)/625 = 625/625 = 1 ve (24/7) · (7/24) = 1.

Dik kenarları a (α’nın karşısı), b (komşu), hipotenüsü c olan dik üçgende sinα = a/c, cosα = b/c. sin²α + cos²α = (a² + b²)/c² = c²/c² = 1 (Pisagor: a² + b² = c²). tanα · cotα = (a/b) · (b/a) = 1.

Hipotenüs (merdiven) 5 m’de sabit kalır. Alt uç yaklaşınca komşu kenar kısalır, yükseklik uzar; α büyür. sinα = yükseklik/5 büyür, cosα = taban/5 küçülür.

sinx = a/c, cosx = b/c ⇒ sinx / cosx = (a/c) / (b/c) = a/b = tanx.

sin²x + cos²x = 1 ⇒ 1 − cos²x = sin²x. (1 − cos²x) / (sinx · cosx) = sin²x / (sinx · cosx) = sinx / cosx = tanx.

tanx + cotx = sinx/cosx + cosx/sinx = (sin²x + cos²x) / (sinx · cosx) = 1 / (sinx · cosx).

x = 45°: sol taraf 1 + 1 = 2; sağ taraf 1 / ((√2/2) · (√2/2)) = 1 / (1/2) = 2.

İç açıortay teoremi: |BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 30/45 = 2/3. |BD| = 2k, |DC| = 3k, 5k = 50 ⇒ k = 10. |BD| = 20 m, |DC| = 30 m.

Bank P noktasında olsun; P’den [AB]’ye ve [AC]’ye dikmeler [PE] ve [PF] olsun. AEP ve AFP dik üçgenlerinde m(EAP) = m(FAP) (açıortay) ve m(AEP) = m(AFP) = 90°; iç açılar toplamından m(APE) = m(APF) olur. [AP] ortak kenardır ve iki ucundaki açılar eşittir: A.K.A. eşliğinden AEP ≅ AFP, dolayısıyla |PE| = |PF|.

Bir açıortay üzerindeki noktalar o açının kollarına eşit uzaklıktadır. Üç iç açıortay tek bir noktada kesişir; bu nokta üç kenara da eşit uzaklıktadır (iç teğet çemberin merkezi). Direk, örneğin A ve B’deki iç açıortayların kesişim noktasına konur.

Bir kenar orta dikmesi üzerindeki her nokta o kenarın uç noktalarına eşit uzaklıktadır. [AB] ve [BC]’nin kenar orta dikmelerinin kesişim noktası A, B ve C’ye eşit uzaklıktadır (üçüncü kenar orta dikme de bu noktadan geçer). Bu nokta çevrel çemberin merkezidir.

|AC|² = 6² + 8² = 100 ⇒ |AC| = 10 km. Dik üçgende çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır (hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır). Depo [AC]’nin orta noktası O’ya yapılır; her köye uzaklığı 5 km’dir.

Geniş açılı üçgende kenar orta dikmeler üçgenin dışında, en uzun kenarın öbür yanında kesişir; depo üçgensel bölgenin dışında kalır.

Yükseklik h = 8 · sinθ (C’den inen dikmenin oluşturduğu dik üçgende). A = 10 · h / 2 = 10 · 8 · sinθ / 2 = 40 · sinθ. θ = 30°: A = 40 · 1/2 = 20 m².

Dar ya da geniş her θ için 0 < sinθ ≤ 1’dir ve sinθ = 1 yalnızca θ = 90°’de olur. Bu durumda 8 m’lik kenar yüksekliğin kendisidir. En büyük alan 40 m².

Birim çemberde sin150° = sin(180° − 30°) = sin30° = 1/2. Alan 40 · 1/2 = 20 m²; θ = 30° ile aynıdır. Birbirini 180°’ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan alanlar eşittir.

Üç ifade aynı alanı verdiğinden ½bc · sinA = ½ac · sinB ⇒ b · sinA = a · sinB ⇒ a / sinA = b / sinB. Benzer şekilde ½ac · sinB = ½ab · sinC ⇒ c · sinB = b · sinC ⇒ b / sinB = c / sinC.

m(PSQ) = 180° − 75° − 45° = 60°. Sinüs teoremi: |PS| / sin45° = |PQ| / sin60° ⇒ |PS| = 10 · (√2/2) / (√3/2) = 10√2/√3 = 10√6/3 ≈ 8,17 km (√6 ≈ 2,45 ile; daha hassas değer 8,16 km).