OYSS Rehber

9. Sınıf Matematik · 1. dönem 1. yazılı · 9.1.1

9. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı: Üslü ve Köklü Gösterimler Soruları

Bilimsel gösterimle hesaplama, köklü sayıların yaklaşık değeri ve hata payı, üslü ifadelerde örüntüden genellemeye, üslü ve köklü önermeleri karşı örnekle sınama.

Son güncelleme:

Bir bakışta

Öğrenme çıktısı
9.1.1
Bu sayfadaki soru
4
Senaryolarda bu konudan
2-3 soru

Resmî öğrenme çıktısı

Sayılar · Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri ile Yapılan İşlemler

9.1.1. Gerçek sayıların üslü ve köklü gösterimleriyle yapılan işlemlere dair muhakeme yapabilme

1. soru

Işığın Güneş'ten ve Ay'dan gelme süresi · 12 puan

Işık boşlukta saniyede yaklaşık 3 · 105 km yol alır. Güneş’in ve Ay’ın Dünya’ya ortalama uzaklıkları aşağıdaki tabloda yaklaşık olarak verilmiştir.

Güneş ve Ay'ın Dünya'ya ortalama uzaklıkları
Gök cismiDünya’ya ortalama uzaklık (km)
Güneş1,5 · 108
Ay3,84 · 105
  1. 1.14 puan

    Güneş’ten çıkan ışığın Dünya’ya kaç saniyede ulaştığını bilimsel gösterimle işlem yaparak bulunuz. Sonucu dakika ve saniye olarak da yazınız.

  2. 1.23 puan

    Ay’dan yansıyan ışığın Dünya’ya kaç saniyede ulaştığını bulunuz.

  3. 1.35 puan

    Elif: “Güneş, Ay’dan yaklaşık 400 kat daha uzakta. O hâlde Güneş ışığının gelmesi de Ay’dan gelen ışığa göre yaklaşık 400 kat uzun sürer.” diyor. Elif’in önermesini uzaklıkların oranını hesaplayarak değerlendiriniz.

Çözümü ve puanlamayı göster

1.1 tam puan 4

Örnek çözüm

Süre = yol / hız = (1,5 · 108) / (3 · 105) = 0,5 · 103 = 5 · 102 = 500 saniye. 500 saniye = 8 dakika 20 saniye.

Puanlama

  • Süreyi yol / hız olarak kurmak1 puan
  • Bilimsel gösterimle bölmeyi yapıp 5 · 10² s bulmak2 puan
  • 8 dakika 20 saniyeye çevirmek1 puan

1.2 tam puan 3

Örnek çözüm

(3,84 · 105) / (3 · 105) = 1,28 saniye.

Puanlama

  • 1,28 saniye3 puan

1.3 tam puan 5

Örnek çözüm

Uzaklıklar oranı (1,5 · 108) / (3,84 · 105) ≈ 0,39 · 103 = 390, yani yaklaşık 4 · 102. Süreler oranı 500 / 1,28 ≈ 390 olur.

Işığın hızı iki yolda da aynı olduğundan süre uzaklıkla doğru orantılıdır; bu yüzden süreler oranı uzaklıklar oranına eşittir. Elif’in önermesi yaklaşık olarak doğrudur (tam değer 400 değil, yaklaşık 390).

Puanlama

  • Uzaklıklar oranını ≈ 390 (≈ 4 · 10²) bulmak2 puan
  • Hız aynı olduğundan süre oranının uzaklık oranına eşit olduğunu gerekçelendirmek2 puan
  • Önermenin yaklaşık olarak doğru olduğu sonucuna varmak1 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

2. soru

Yarım dönümlük arsaya çit: köklü sayı ve yaklaşık değer · 13 puan

Bir çiftçi, alanı 500 m² olan kare biçimli arsasının çevresini çitle çevirecektir. Çit, her biri 2 m uzunluğunda paneller hâlinde satılmaktadır ve bir panel 350 TL’dir. Paneller kesilmeden kullanılacaktır.

500 m²
  1. 2.13 puan

    Arsanın bir kenar uzunluğunu köklü gösterimle en sade biçimde yazınız.

  2. 2.25 puan

    √5 ≈ 2,24 alınız. Arsanın çevresini ve gereken panel sayısını bulunuz. Panel sayısını neden bu şekilde yuvarladığınızı açıklayınız.

  3. 2.35 puan

    Komşusu hesabı kısaltmak için √5 ≈ 2 almış ve 40 panel almıştır. Bu yaklaşık değerin çiftçiye etkisini açıklayınız.

Çözümü ve puanlamayı göster

2.1 tam puan 3

Örnek çözüm

Kenar = √500 = √100 · 5 = 10√5 m.

Puanlama

  • Kenar = 10√5 m3 puan

2.2 tam puan 5

Örnek çözüm

Çevre = 4 · 10√5 = 40√5 ≈ 40 · 2,24 = 89,6 m.

89,6 / 2 = 44,8. Paneller kesilmeden kullanılacağından 44 panel çevreyi kapatmaz; yukarı yuvarlanır: 45 panel gerekir. Maliyet 45 · 350 = 15 750 TL olur.

Puanlama

  • Çevre = 40√5 ≈ 89,6 m2 puan
  • 44,8 bulup 45 panele yukarı yuvarlamak2 puan
  • Yuvarlamanın gerekçesi (44 panel çevreyi kapatmaz)1 puan

2.3 tam puan 5

Örnek çözüm

√5 ≈ 2 alınırsa çevre 80 m bulunur ve 40 panel alınır. Gerçek çevre 40√5 ≈ 89,4 m (√5 ≈ 2,236 ile; 2,24 ile 89,6 m) olduğundan yaklaşık 9,5 m çit eksik kalır; en az 5 panel daha (1750 TL) alınması gerekir. Yaklaşık değer ne kadar kaba seçilirse hata payı o kadar büyür; malzeme hesabında yeterince hassas bir yaklaşık değer kullanılmalıdır.

Puanlama

  • Çevrenin 80 m bulunup yaklaşık 9-10 m eksik kalacağını belirtmek2 puan
  • Eksik panel sayısını (5) ya da ek maliyeti belirtmek1 puan
  • Yaklaşık değerin hassasiyeti ile hata payı arasındaki ilişkiyi açıklamak2 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

3. soru

Kâğıt katlama: üslü ifadede örüntü ve genelleme · 13 puan

Kalınlığı 0,1 mm olan bir kâğıt her katlandığında kalınlığı iki katına çıkmaktadır. (Bu bir düşünce deneyidir; gerçekte bir kâğıt ancak birkaç kez katlanabilir.)

Katlama sayısına göre kâğıdın kalınlığı
Katlama sayısı (n)012345
Kalınlık (m)10−4……………
  1. 3.14 puan

    Tablodaki boşlukları bilimsel gösterimle doldurunuz.

  2. 3.26 puan

    n katlamadan sonraki kalınlığı veren genel kuralı yazınız ve kâğıdın en az kaç katlamada 1 metreyi geçeceğini bulunuz.

  3. 3.33 puan

    Can: “Katlama sayısı iki katına çıkarsa kalınlık da iki katına çıkar.” diyor. Bu önermeyi bir örnekle sınayınız ve doğru ilişkiyi üslü ifadelerin özellikleriyle açıklayınız.

Çözümü ve puanlamayı göster

3.1 tam puan 4

Örnek çözüm

n = 1: 2 · 10−4; n = 2: 4 · 10−4; n = 3: 8 · 10−4; n = 4: 1,6 · 10−3; n = 5: 3,2 · 10−3 m.

Puanlama

  • n = 1, 2, 3 için değerler2 puan
  • n = 4, 5 için değerleri bilimsel gösterime doğru çevirmek (1,6 · 10⁻³ ve 3,2 · 10⁻³)2 puan

3.2 tam puan 6

Örnek çözüm

Kalınlık = 10−4 · 2n m.

1 m’yi geçmesi için 2n > 104 olmalıdır. 213 = 8192 < 10 000 ve 214 = 16 384 > 10 000 olduğundan en az 14 katlama gerekir (13 katlamada 0,8192 m, 14 katlamada 1,6384 m).

Puanlama

  • Genel kural: 10⁻⁴ · 2ⁿ3 puan
  • 2ⁿ > 10⁴ eşitsizliğini kurmak1 puan
  • En az 14 katlama2 puan

3.3 tam puan 3

Örnek çözüm

Karşı örnek: 5 katlamada 3,2 · 10−3 m, 10 katlamada 10−4 · 210 = 0,1024 m olur; kalınlık 2 kat değil 25 = 32 kat artar. Genel olarak 10−4 · 22n = (10−4 · 2n) · 2n; katlama sayısı n’den 2n’ye çıkınca kalınlık 2n katına çıkar. Önerme yanlıştır.

Puanlama

  • Önermeyi çürüten sayısal bir örnek vermek2 puan
  • Kalınlığın 2ⁿ katına çıktığını üslü ifadelerle açıklamak1 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

4. soru

Üslü ve köklü önermeleri sınama · 10 puan

  1. 410 puan

    Bir çalışma kâğıdında aşağıdaki önermeler yer almaktadır.

    1. I.Her a ve b pozitif gerçek sayısı için √a + b = √a + √b’dir.
    2. II.Her a gerçek sayısı için √a² = a’dır.
    3. III.Her a pozitif gerçek sayısı için a1/2 · a1/3 = a5/6’dır.
    4. IV.(23)2 = 2(3²)’dir.
    5. V.√12 + √27 = √75’tir.

    Her önermenin doğru mu yanlış mı olduğunu belirleyiniz. Doğru olanları üslü ve köklü ifadelerin özellikleriyle gösteriniz, yanlış olanlar için bir karşı örnek veriniz.

Çözümü ve puanlamayı göster

4 tam puan 10

Örnek çözüm

  • I. Yanlış. a = 9, b = 16 için √25 = 5, ama √9 + √16 = 7.
  • II. Yanlış. a = −3 için √9 = 3 ≠ −3. Doğrusu √a² = |a|’dır.
  • III. Doğru. Tabanları aynı üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: 12 + 13 = 56.
  • IV. Yanlış. (23)2 = 26 = 64, 29 = 512.
  • V. Doğru. √12 = 2√3, √27 = 3√3, toplamları 5√3 = √75.

Puanlama

  • I: yanlış, karşı örnekle2 puan
  • II: yanlış, karşı örnekle (doğrusu |a|)2 puan
  • III: doğru, üslerin toplandığını göstererek2 puan
  • IV: yanlış, iki tarafı hesaplayarak2 puan
  • V: doğru, kökleri sadeleştirerek2 puan

Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.

Puanlar sorunun kendi içindeki dağılımını gösterir; senaryo kâğıdında tüm sorular birlikte 100 puana ölçeklenir.

Bu konunun geçtiği senaryo kâğıtları

Senaryo 1: 3 soruSenaryo 2: 2 soruSenaryo 3: 2 soruSenaryo 4: 3 soru

Diğer konular

Sorular OYSS Rehber tarafından Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı’na göre hazırlanmış örneklerdir, resmî sınav sorusu değildir. Öğrenme çıktısı metni ÖDSGM konu soru dağılım tablosundan alınmıştır (kaynak).