9. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Soruları: Senaryo 1

Süre = yol / hız = (1,5 · 10⁸) / (3 · 10⁵) = 0,5 · 10³ = 5 · 10² = 500 saniye. 500 saniye = 8 dakika 20 saniye.

(3,84 · 10⁵) / (3 · 10⁵) = 1,28 saniye.

Uzaklıklar oranı (1,5 · 10⁸) / (3,84 · 10⁵) ≈ 0,39 · 10³ = 390, yani yaklaşık 4 · 10². Süreler oranı 500 / 1,28 ≈ 390 olur.

Işığın hızı iki yolda da aynı olduğundan süre uzaklıkla doğru orantılıdır; bu yüzden süreler oranı uzaklıklar oranına eşittir. Elif’in önermesi yaklaşık olarak doğrudur (tam değer 400 değil, yaklaşık 390).

Kenar = √500 = √100 · 5 = 10√5 m.

Çevre = 4 · 10√5 = 40√5 ≈ 40 · 2,24 = 89,6 m.

89,6 / 2 = 44,8. Paneller kesilmeden kullanılacağından 44 panel çevreyi kapatmaz; yukarı yuvarlanır: 45 panel gerekir. Maliyet 45 · 350 = 15 750 TL olur.

√5 ≈ 2 alınırsa çevre 80 m bulunur ve 40 panel alınır. Gerçek çevre 40√5 ≈ 89,4 m (√5 ≈ 2,236 ile; 2,24 ile 89,6 m) olduğundan yaklaşık 9,5 m çit eksik kalır; en az 5 panel daha (1750 TL) alınması gerekir. Yaklaşık değer ne kadar kaba seçilirse hata payı o kadar büyür; malzeme hesabında yeterince hassas bir yaklaşık değer kullanılmalıdır.

n = 1: 2 · 10⁻⁴; n = 2: 4 · 10⁻⁴; n = 3: 8 · 10⁻⁴; n = 4: 1,6 · 10⁻³; n = 5: 3,2 · 10⁻³ m.

Kalınlık = 10⁻⁴ · 2ⁿ m.

1 m’yi geçmesi için 2ⁿ > 10⁴ olmalıdır. 2¹³ = 8192 < 10 000 ve 2¹⁴ = 16 384 > 10 000 olduğundan en az 14 katlama gerekir (13 katlamada 0,8192 m, 14 katlamada 1,6384 m).

Karşı örnek: 5 katlamada 3,2 · 10⁻³ m, 10 katlamada 10⁻⁴ · 2¹⁰ = 0,1024 m olur; kalınlık 2 kat değil 2⁵ = 32 kat artar. Genel olarak 10⁻⁴ · 2²ⁿ = (10⁻⁴ · 2ⁿ) · 2ⁿ; katlama sayısı n’den 2n’ye çıkınca kalınlık 2ⁿ katına çıkar. Önerme yanlıştır.

A = [2, 8], B = (5, 15). A’nın uçları dahil (dolu nokta), B’nin uçları hariçtir (boş nokta).

İkisine birlikte uygun sıcaklıklar: A ∩ B = (5, 8]. 5 °C hariç (B’ye uygun değil), 8 °C dahildir.

A’ya uygun, B’ye uygun olmayanlar: A \ B = [2, 5]. 5 °C dahildir çünkü B’de değildir.

A’nın orta noktası (2 + 8) / 2 = 5, yarı genişliği 3’tür: A = {t ∈ ℝ : |t − 5| ≤ 3}. m = 5 aralığın orta noktası, r = 3 orta noktadan izin verilen en büyük uzaklıktır.

(0, 1], (1, 3], (3, 6] ve (6, ∞).

Herhangi ikisinin kesişimi boş kümedir; birleşimleri (0, ∞)’dur. Yani otoparkta kalınan her süre tam olarak bir ücret basamağına düşer.

[0, 1] ∩ [1, 3] = {1}, [1, 3] ∩ [3, 6] = {3}, [3, 6] ∩ [6, ∞) = {6}. Kesişimler boş değildir: tam 1, 3 ya da 6 saat kalan bir araç iki farklı basamağa girer ve iki ücret söz konusu olur. Ayrıca 0 saat de bir basamağa dahil edilmiştir. Basamakların ayrık olması için her aralığın bir ucu açık olmalıdır.

3 saat 15 dakika = 3,25 saat ve 3,25 ∈ (3, 6] olduğundan ücret 100 TL’dir.

• I. Yanlış. √2 ve −√2 irrasyoneldir, toplamları 0 rasyoneldir.
• II. Doğru. a < b iki rasyonel sayı olsun. a + b2 rasyoneldir ve a < a + b2 < b’dir (a < b eşitsizliğinin iki yanına a, sonra b eklenip 2’ye bölünür).
• III. Yanlış. 1 ve 2 tam sayıdır, 1 ÷ 2 = 0,5 tam sayı değildir.
• IV. Doğru. 2m ve 2n çift tam sayılar (m, n ∈ ℤ) ise 2m · 2n = 2(2mn) ve 2mn ∈ ℤ olduğundan çarpım çifttir.
• V. Yanlış. 1 ile 2 arasında hiçbir doğal sayı yoktur.

Bir kenarı a + 2 olduğundan alan (a + 2)²’dir. Parçaların toplamı a² + 2a + 2a + 4 = a² + 4a + 4’tür. Buradan (a + 2)² = a² + 4a + 4.

Alan artışı = (a + 2)² − a² = 4a + 4. 4a + 4 = 64 ⇒ a = 15 m.

Öğrenci yalnızca a² ve 4’lük kareleri toplamış, modeldeki alanı 2a olan iki dikdörtgeni unutmuştur. Doğrusu a² + 4a + 4’tür; örneğin a = 1 için (1 + 2)² = 9, ama 1² + 4 = 5’tir.

Kalan parça, büyük kareden küçük kare çıkarılarak elde edildiğinden alanı a² − b²’dir. Aynı parça yeniden düzenlenince kenarları (a − b) ve (a + b) olan bir dikdörtgen olur; alanı (a − b)(a + b)’dir. Alan değişmediğinden a² − b² = (a − b)(a + b).

103 · 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 100² − 3² = 10 000 − 9 = 9991.

2026² − 2025² = (2026 − 2025)(2026 + 2025) = 1 · 4051 = 4051.