9. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Soruları: Senaryo 4

Kenar = √500 = √100 · 5 = 10√5 m.

Çevre = 4 · 10√5 = 40√5 ≈ 40 · 2,24 = 89,6 m.

89,6 / 2 = 44,8. Paneller kesilmeden kullanılacağından 44 panel çevreyi kapatmaz; yukarı yuvarlanır: 45 panel gerekir. Maliyet 45 · 350 = 15 750 TL olur.

√5 ≈ 2 alınırsa çevre 80 m bulunur ve 40 panel alınır. Gerçek çevre 40√5 ≈ 89,4 m (√5 ≈ 2,236 ile; 2,24 ile 89,6 m) olduğundan yaklaşık 9,5 m çit eksik kalır; en az 5 panel daha (1750 TL) alınması gerekir. Yaklaşık değer ne kadar kaba seçilirse hata payı o kadar büyür; malzeme hesabında yeterince hassas bir yaklaşık değer kullanılmalıdır.

n = 1: 2 · 10⁻⁴; n = 2: 4 · 10⁻⁴; n = 3: 8 · 10⁻⁴; n = 4: 1,6 · 10⁻³; n = 5: 3,2 · 10⁻³ m.

Kalınlık = 10⁻⁴ · 2ⁿ m.

1 m’yi geçmesi için 2ⁿ > 10⁴ olmalıdır. 2¹³ = 8192 < 10 000 ve 2¹⁴ = 16 384 > 10 000 olduğundan en az 14 katlama gerekir (13 katlamada 0,8192 m, 14 katlamada 1,6384 m).

Karşı örnek: 5 katlamada 3,2 · 10⁻³ m, 10 katlamada 10⁻⁴ · 2¹⁰ = 0,1024 m olur; kalınlık 2 kat değil 2⁵ = 32 kat artar. Genel olarak 10⁻⁴ · 2²ⁿ = (10⁻⁴ · 2ⁿ) · 2ⁿ; katlama sayısı n’den 2n’ye çıkınca kalınlık 2ⁿ katına çıkar. Önerme yanlıştır.

• I. Yanlış. a = 9, b = 16 için √25 = 5, ama √9 + √16 = 7.
• II. Yanlış. a = −3 için √9 = 3 ≠ −3. Doğrusu √a² = |a|’dır.
• III. Doğru. Tabanları aynı üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: 12 + 13 = 56.
• IV. Yanlış. (2³)² = 2⁶ = 64, 2⁹ = 512.
• V. Doğru. √12 = 2√3, √27 = 3√3, toplamları 5√3 = √75.

A = [2, 8], B = (5, 15). A’nın uçları dahil (dolu nokta), B’nin uçları hariçtir (boş nokta).

İkisine birlikte uygun sıcaklıklar: A ∩ B = (5, 8]. 5 °C hariç (B’ye uygun değil), 8 °C dahildir.

A’ya uygun, B’ye uygun olmayanlar: A \ B = [2, 5]. 5 °C dahildir çünkü B’de değildir.

A’nın orta noktası (2 + 8) / 2 = 5, yarı genişliği 3’tür: A = {t ∈ ℝ : |t − 5| ≤ 3}. m = 5 aralığın orta noktası, r = 3 orta noktadan izin verilen en büyük uzaklıktır.

• a) ℕ: yolcu sayısı 0, 1, 2, … gibi sayılarla sayılır.
• b) ℤ: kat numaraları …, −2, −1, 0, 1, 2, … olabilir.
• c) ℚ: yenen kısım 3/8 gibi iki tam sayının oranıdır.
• d) ℚ′: Pisagor bağıntısından köşegen √2 m’dir ve √2 irrasyoneldir.

Önerme yanlıştır. Doğal sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değildir: b = 3, i = 5 için b − i = −2 ∉ ℕ. Bir durakta binenden fazla yolcu inebilir, bu yüzden fark negatif olabilir. (Otobüsteki yolcu sayısı ise negatif olamaz; çünkü inen yolcu sayısı otobüstekilerden fazla olamaz.)

ℤ’de arada olma özelliği yoktur: 2. kat ile 3. kat arasında başka bir kat yoktur. ℚ’de vardır: 1/4 ile 1/2 arasında örneğin 3/8 vardır; iki farklı kesir arasına her zaman başka bir kesir yazılabilir.

Bir kenarı a + 2 olduğundan alan (a + 2)²’dir. Parçaların toplamı a² + 2a + 2a + 4 = a² + 4a + 4’tür. Buradan (a + 2)² = a² + 4a + 4.

Alan artışı = (a + 2)² − a² = 4a + 4. 4a + 4 = 64 ⇒ a = 15 m.

Öğrenci yalnızca a² ve 4’lük kareleri toplamış, modeldeki alanı 2a olan iki dikdörtgeni unutmuştur. Doğrusu a² + 4a + 4’tür; örneğin a = 1 için (1 + 2)² = 9, ama 1² + 4 = 5’tir.

Kalan parça, büyük kareden küçük kare çıkarılarak elde edildiğinden alanı a² − b²’dir. Aynı parça yeniden düzenlenince kenarları (a − b) ve (a + b) olan bir dikdörtgen olur; alanı (a − b)(a + b)’dir. Alan değişmediğinden a² − b² = (a − b)(a + b).

103 · 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 100² − 3² = 10 000 − 9 = 9991.

2026² − 2025² = (2026 − 2025)(2026 + 2025) = 1 · 4051 = 4051.