11. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Soruları: Senaryo 4

x = 150 / 10 = 15 °C ve y = 1000 / 10 = 100 adet.

I. bölgede 1 nokta (16; 104), III. bölgede 1 nokta (14; 96) vardır: pozitif yönü destekleyen 2 nokta. II. bölgede 4, IV. bölgede 4 nokta vardır: negatif yönü destekleyen 8 nokta.

BSO = (2 − 8) / 10 = −0,6

BSO negatiftir ve r = −0,97 değeri −1’e çok yakındır: sıcaklık ile sıcak içecek satışı arasında negatif yönlü, güçlü bir doğrusal ilişki vardır. Sıcaklık arttıkça satış azalma eğilimindedir.

Öneri: Hava tahmininde sıcaklığın düşük olacağı günlerde daha fazla sıcak içecek malzemesi hazırlanmalı, sıcak günlerde hazırlık azaltılmalıdır.

Sınırlılık (biri yeterli): Veri yalnızca 10 günlük ve tek mevsime aittir; hafta sonu, yağmur veya özel günler gibi başka etkenler de satışı etkileyebilir; ilişki tek başına neden-sonuç kanıtı değildir.

A → 0,05   B → −0,91   C → 0,87   D → −0,38

B ve D’de noktalar sağa doğru alçalır (negatif yön). B’de noktalar bir doğruya çok yakındır (−0,91), D’de dağınıktır (−0,38). C’de noktalar sağa doğru yükselir ve bir doğruya yakındır (0,87). A’da belirgin bir eğilim yoktur (0,05).

B veri setinde (r = −0,91). Doğrusal ilişkinin gücü r’nin mutlak değerine bağlıdır: |−0,91| = 0,91, C’nin 0,87 değerinden büyüktür. İşaret yalnızca yönü gösterir; r’nin negatif olması ilişkinin zayıf olduğu anlamına gelmez.

Ece’nin yorumu yanlıştır. Serpme diyagramında noktalar belirgin bir U biçimi oluşturur: çok soğuk ve çok sıcak aylarda tüketim yüksek, ılık aylarda düşüktür. İki değişken güçlü biçimde ilişkilidir ama bu ilişki doğrusal değildir. Korelasyon katsayısı yalnızca doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü ölçtüğü için r’nin sıfıra yakın çıkması “ilişki yok” anlamına gelmez.

18 °C’nin altı (3, 5, 6, 9, 12, 13 °C): sıcaklık arttıkça tüketim 370’ten 230 kWh’ye iner; negatif yönlü ilişki. Isınma ihtiyacı azaldıkça ısıtıcı daha az çalışır.

18 °C ve üstü (18, 18, 23, 24, 27, 29 °C): sıcaklık arttıkça tüketim 220’den 370 kWh’ye çıkar; pozitif yönlü ilişki. Serinletme ihtiyacı arttıkça klima daha çok çalışır.

Çürütülür. Veriler, iki değişken arasında pozitif yönlü güçlü bir ilişki olduğunu gösterir (r ≈ 0,96); bu kısım doğrudur. Ancak iki nicel değişkenin ilişkili olması, aralarında neden-sonuç ilişkisi olduğu anlamına gelmez. Dondurma satışının yanığa yol açtığını gösteren bir veri yoktur; bu yüzden “satış sınırlandırılmalı” sonucu verilerle desteklenmez.

Hava sıcaklığı (ya da güneşli gün sayısı, güneşte kalma süresi). Sıcak ve güneşli haftalarda hem dondurma alan kişi sayısı hem de güneşte uzun süre kalan, dolayısıyla güneş yanığı olan kişi sayısı artar. İki değişken bu ortak etken yüzünden birlikte artar; biri diğerinin nedeni değildir.

Geçerli: I ve V. Geçersiz: II, III ve IV.

• I. r ≈ 0,80 pozitiftir; noktalar sağa doğru yükselme eğilimindedir.
• II. İlişkililik neden-sonuç göstermez. İlişki bir eğilimdir, her öğrenci için kesinlik bildirmez: diyagramda 4 saat okuyup 70 alan öğrenciden daha çok (5 saat) okuyup daha düşük (58) puan alan bir öğrenci vardır.
• III. Veri 8 gönüllü üyeden gelir; örneklem küçüktür ve okulu temsil etmeyebilir (yanlılık).
• IV. Veriler 1-8 saat aralığındadır; bu aralığın dışında eğilimin süreceği bilinemez. Ayrıca deneme puanı 100’ü geçemez.
• V. I. ve III. bölgede 6, II. ve IV. bölgede 2 nokta vardır: BSO = (6 − 2) / 8 = 0,5.

[AC] köşegeni dörtgeni ABC ve ACD üçgenlerine ayırır. ABC üçgeninde m(BAC) + m(ABC) + m(BCA) = 180°, ACD üçgeninde m(CAD) + m(ACD) + m(CDA) = 180°’dir.

Dörtgen dışbükey olduğundan köşegen dörtgenin içinden geçer: m(BAC) + m(CAD) = m(DAB) ve m(BCA) + m(ACD) = m(BCD). İki eşitlik toplanınca m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 360° bulunur.

B, C ve E doğrusal olduğundan m(BCD) = 180° − 115° = 65°.

İç açılar toplamı 360° olduğundan m(ADC) = 360° − (100° + 70° + 65°) = 125°.

ABC üçgeninde |BK| / |BA| = |BL| / |BC| = 1/2 ve B açısı ortaktır. K.A.K. benzerliğinden BKL ~ BAC, benzerlik oranı 1/2’dir. Buradan KL // AC ve |KL| = |AC| / 2.

Aynı yolla ADC üçgeninde NM // AC ve |NM| = |AC| / 2. Böylece KL // NM ve |KL| = |NM|. Karşılıklı bir kenar çifti hem paralel hem eş olan dörtgen paralelkenardır.

|KL| = |NM| = 12 / 2 = 6 cm. Aynı yolla BCD ve BAD üçgenlerinden |LM| = |KN| = 16 / 2 = 8 cm. Ç(KLMN) = 2 · (6 + 8) = 28 cm.

Dikdörtgen. KL // AC ve LM // BD’dir. AC ⊥ BD olduğundan KL ⊥ LM olur. Bir açısı dik olan paralelkenar dikdörtgendir.

[DC] // [AB] olduğundan m(EDC) = m(EBA) ve m(ECD) = m(EAB) (iç ters açılar); ayrıca m(DEC) = m(BEA) (ters açılar). A.A. benzerliğinden DEC ~ BEA. Benzerlik oranı |DC| / |BA| = 6 / 9 = 2/3.

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesidir: A(DEC) / A(BEA) = (2/3)² = 4/9. A(AEB) = 8 · 9 / 4 = 18 m².

ABD ve ABC üçgenlerinin tabanı ortak [AB]’dir. D ve C, AB’ye paralel DC doğrusu üzerinde olduğundan yükseklikleri eşittir: A(ABD) = A(ABC). İki alandan ortak AEB bölgesi çıkarılınca A(AED) = A(BEC).

AED ve AEB üçgenlerinin A köşesinden inen yüksekliği ortaktır; tabanlar oranı |DE| / |EB| = 2/3. Buradan A(AED) = 18 · 2/3 = 12 m² = A(BEC). Toplam alan = 8 + 18 + 12 + 12 = 50 m².

Paralelkenarda [AB] // [DC] ve |AB| = |DC|’dir. ABE ve CDE üçgenlerinde m(EAB) = m(ECD) ve m(EBA) = m(EDC) (paralel doğrularda iç ters açılar), |AB| = |CD|. A.K.A. eşliğinden ABE ≅ CDE. Buradan |AE| = |EC| ve |BE| = |ED|.

AEB ve BEC üçgenlerinin B köşesinden [AC]’ye inen yüksekliği ortaktır ve tabanları |AE| = |EC|’dir; alanları eşittir. Aynı gerekçeyle A(BEC) = A(CED) ve A(CED) = A(DEA). Dört bölgenin alanı eşittir: 96 / 4 = 24 m².

Dikdörtgen olurdu. ABC ve DCB üçgenlerinde |AB| = |DC|, [BC] ortak ve |AC| = |DB| olduğundan K.K.K. eşliğiyle ABC ≅ DCB, yani m(B) = m(C). Paralelkenarda komşu açılar bütünler (m(B) + m(C) = 180°) olduğundan m(B) = m(C) = 90°. Bir açısı dik olan paralelkenar dikdörtgendir.