11. Sınıf Matematik · 1. dönem 1. yazılı · MAT.11.2.1
Üçgende açı, benzerlik ve alan özelliklerinden dörtgenlere: iç açılar toplamı, deltoid ve simetri, kenar orta noktaları, yamukta köşegenlerin ayırdığı alanlar.
Son güncelleme:
Bir bakışta
Resmî öğrenme çıktısı
Geometrik şekiller · Dörtgenlerin Özellikleri
MAT.11.2.1. Üçgenlerde açı, benzerlik ve alan özelliklerinden yola çıkarak dörtgenlerin açı, kenar, köşegen, simetri ve alan özelliklerine ilişkin muhakeme yapabilme
Dörtgende iç açılar toplamı · 12 puan
Bir dışbükey dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 360° olduğunu, bir köşegen çizerek ve üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamını kullanarak gösteriniz.
Şekilde ABCD bir dörtgen; B, C ve E noktaları doğrusaldır. m(DAB) = 100°, m(ABC) = 70° ve m(DCE) = 115°’dir. m(ADC) kaç derecedir? İşlemlerinizi gösteriniz.
1.1 tam puan 6
Örnek çözüm
[AC] köşegeni dörtgeni ABC ve ACD üçgenlerine ayırır. ABC üçgeninde m(BAC) + m(ABC) + m(BCA) = 180°, ACD üçgeninde m(CAD) + m(ACD) + m(CDA) = 180°’dir.
Dörtgen dışbükey olduğundan köşegen dörtgenin içinden geçer: m(BAC) + m(CAD) = m(DAB) ve m(BCA) + m(ACD) = m(BCD). İki eşitlik toplanınca m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 360° bulunur.
Puanlama
1.2 tam puan 6
Örnek çözüm
B, C ve E doğrusal olduğundan m(BCD) = 180° − 115° = 65°.
İç açılar toplamı 360° olduğundan m(ADC) = 360° − (100° + 70° + 65°) = 125°.
Puanlama
Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.
Deltoid: simetri, alan ve uçurtma · 14 puan
Şekildeki ABCD deltoidinde |AB| = |AD| ve |CB| = |CD|’dir. [AC] ve [BD] köşegenleri E noktasında kesişmektedir.
[AC] köşegeninin [BD] köşegenine dik olduğunu ve deltoidin simetri ekseni olduğunu üçgenlerin eşliğinden yararlanarak gösteriniz.
Deltoidin alanının, köşegen uzunluklarının çarpımının yarısına eşit olduğunu gösteriniz.
Bu biçimde bir uçurtma yapılacaktır. Çıtalar E noktasında dik kesişmektedir; |AE| = 15 cm, |EC| = 48 cm ve |BD| = 40 cm’dir. Uçurtmayı kaplamak için gereken kâğıdın alanını ve kenarlarına çekilecek şeridin uzunluğunu bulunuz.
2.1 tam puan 5
Örnek çözüm
ABC ve ADC üçgenlerinde |AB| = |AD|, |CB| = |CD| ve [AC] ortak kenardır. K.K.K. eşliğinden ABC ≅ ADC, dolayısıyla m(BAC) = m(DAC): [AC], A açısının açıortayıdır.
ABD üçgeni ikizkenardır (|AB| = |AD|). İkizkenar üçgende tepe açısının açıortayı tabana diktir ve tabanı ortalar: [AC] ⊥ [BD] ve |BE| = |ED|. Böylece B ile D, AC doğrusuna göre birbirinin simetriğidir; [AC] deltoidin simetri eksenidir.
Puanlama
2.2 tam puan 4
Örnek çözüm
A(ABCD) = A(ABC) + A(ADC). İki üçgenin tabanı ortak [AC]’dir; AC ⊥ BD olduğundan yükseklikleri |BE| ve |ED|’dir. A(ABCD) = |AC|·|BE| / 2 + |AC|·|ED| / 2 = |AC|·(|BE| + |ED|) / 2 = |AC|·|BD| / 2.
Puanlama
2.3 tam puan 5
Örnek çözüm
|AC| = 15 + 48 = 63 cm. Alan = 63 · 40 / 2 = 1260 cm².
|BE| = |ED| = 20 cm. ABE dik üçgeninde |AB| = √(15² + 20²) = 25 cm; CBE dik üçgeninde |CB| = √(48² + 20²) = √2704 = 52 cm. Şerit = 2 · (25 + 52) = 154 cm.
Puanlama
Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.
Kenar orta noktalarının oluşturduğu dörtgen · 14 puan
ABCD dışbükey dörtgeninde K, L, M ve N noktaları sırasıyla [AB], [BC], [CD] ve [DA] kenarlarının orta noktalarıdır.
KLMN dörtgeninin bir paralelkenar olduğunu, [AC] köşegenini kullanarak gösteriniz.
|AC| = 12 cm ve |BD| = 16 cm ise KLMN paralelkenarının çevresi kaç cm’dir?
[AC] ⊥ [BD] olsaydı KLMN nasıl bir dörtgen olurdu? Gerekçesiyle yazınız.
3.1 tam puan 6
Örnek çözüm
ABC üçgeninde |BK| / |BA| = |BL| / |BC| = 1/2 ve B açısı ortaktır. K.A.K. benzerliğinden BKL ~ BAC, benzerlik oranı 1/2’dir. Buradan KL // AC ve |KL| = |AC| / 2.
Aynı yolla ADC üçgeninde NM // AC ve |NM| = |AC| / 2. Böylece KL // NM ve |KL| = |NM|. Karşılıklı bir kenar çifti hem paralel hem eş olan dörtgen paralelkenardır.
Puanlama
3.2 tam puan 4
Örnek çözüm
|KL| = |NM| = 12 / 2 = 6 cm. Aynı yolla BCD ve BAD üçgenlerinden |LM| = |KN| = 16 / 2 = 8 cm. Ç(KLMN) = 2 · (6 + 8) = 28 cm.
Puanlama
3.3 tam puan 4
Örnek çözüm
Dikdörtgen. KL // AC ve LM // BD’dir. AC ⊥ BD olduğundan KL ⊥ LM olur. Bir açısı dik olan paralelkenar dikdörtgendir.
Puanlama
Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.
Yamukta köşegenlerin ayırdığı alanlar · 14 puan
Bir parktaki yamuk biçimli çiçek tarhı, köşegenleri boyunca yapılan iki yürüyüş yoluyla dört bölgeye ayrılmıştır. Şekildeki ABCD yamuğunda [DC] // [AB], |DC| = 6 m ve |AB| = 9 m’dir. Köşegenler E noktasında kesişmektedir ve DEC bölgesinin alanı 8 m²’dir. (Yolların genişliği önemsenmeyecektir.)
DEC ve BEA üçgenlerinin benzer olduğunu gösteriniz ve benzerlik oranını bulunuz.
AEB bölgesinin alanını bulunuz.
AED ve BEC bölgelerinin alanlarının eşit olduğunu gösteriniz ve tarhın toplam alanını bulunuz.
4.1 tam puan 4
Örnek çözüm
[DC] // [AB] olduğundan m(EDC) = m(EBA) ve m(ECD) = m(EAB) (iç ters açılar); ayrıca m(DEC) = m(BEA) (ters açılar). A.A. benzerliğinden DEC ~ BEA. Benzerlik oranı |DC| / |BA| = 6 / 9 = 2/3.
Puanlama
4.2 tam puan 4
Örnek çözüm
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesidir: A(DEC) / A(BEA) = (2/3)² = 4/9. A(AEB) = 8 · 9 / 4 = 18 m².
Puanlama
4.3 tam puan 6
Örnek çözüm
ABD ve ABC üçgenlerinin tabanı ortak [AB]’dir. D ve C, AB’ye paralel DC doğrusu üzerinde olduğundan yükseklikleri eşittir: A(ABD) = A(ABC). İki alandan ortak AEB bölgesi çıkarılınca A(AED) = A(BEC).
AED ve AEB üçgenlerinin A köşesinden inen yüksekliği ortaktır; tabanlar oranı |DE| / |EB| = 2/3. Buradan A(AED) = 18 · 2/3 = 12 m² = A(BEC). Toplam alan = 8 + 18 + 12 + 12 = 50 m².
Puanlama
Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.
Paralelkenarda köşegenler ve dört eş alanlı bölge · 15 puan
Paralelkenar biçimindeki ABCD bahçesinde [AC] ve [BD] köşegenleri boyunca iki yol yapılmıştır; yollar E noktasında kesişmektedir. Bahçenin alanı 96 m²’dir. (Yolların genişliği önemsenmeyecektir.)
Köşegenlerin birbirini ortaladığını (|AE| = |EC| ve |BE| = |ED|) üçgenlerin eşliğiyle gösteriniz.
Dört bölgenin (AEB, BEC, CED, DEA) alanlarının eşit olduğunu gösteriniz ve her birinin alanını bulunuz.
Köşegenlerin uzunlukları eşit olsaydı ABCD nasıl bir dörtgen olurdu? Gerekçesiyle yazınız.
5.1 tam puan 6
Örnek çözüm
Paralelkenarda [AB] // [DC] ve |AB| = |DC|’dir. ABE ve CDE üçgenlerinde m(EAB) = m(ECD) ve m(EBA) = m(EDC) (paralel doğrularda iç ters açılar), |AB| = |CD|. A.K.A. eşliğinden ABE ≅ CDE. Buradan |AE| = |EC| ve |BE| = |ED|.
Puanlama
5.2 tam puan 5
Örnek çözüm
AEB ve BEC üçgenlerinin B köşesinden [AC]’ye inen yüksekliği ortaktır ve tabanları |AE| = |EC|’dir; alanları eşittir. Aynı gerekçeyle A(BEC) = A(CED) ve A(CED) = A(DEA). Dört bölgenin alanı eşittir: 96 / 4 = 24 m².
Puanlama
5.3 tam puan 4
Örnek çözüm
Dikdörtgen olurdu. ABC ve DCB üçgenlerinde |AB| = |DC|, [BC] ortak ve |AC| = |DB| olduğundan K.K.K. eşliğiyle ABC ≅ DCB, yani m(B) = m(C). Paralelkenarda komşu açılar bütünler (m(B) + m(C) = 180°) olduğundan m(B) = m(C) = 90°. Bir açısı dik olan paralelkenar dikdörtgendir.
Puanlama
Yetersiz, yanlış, belirsiz ya da boş bırakılan cevap 0 puandır.
Puanlar sorunun kendi içindeki dağılımını gösterir; senaryo kâğıdında tüm sorular birlikte 100 puana ölçeklenir.
Sorular OYSS Rehber tarafından Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı’na göre hazırlanmış örneklerdir, resmî sınav sorusu değildir. Öğrenme çıktısı metni ÖDSGM konu soru dağılım tablosundan alınmıştır (kaynak).