11. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Soruları: Senaryo 1

Örnek soru: “Okulumuzdaki 11. sınıf öğrencilerinin hafta içi günlük ortalama ekran süresi (saat) ile gece uyku süresi (saat) arasında bir ilişki var mıdır?”

Değişkenler: günlük ortalama ekran süresi ve gece uyku süresi. İkisi de saatle ölçülür, yani nicel değişkendir. Gözlem birimi: okuldaki her bir 11. sınıf öğrencisi.

Uygun değildir. Formdaki seçenekler kategorik veri üretir: “az”, “çok”, “yeterli” birer sayı değildir ve her öğrenci bunları farklı anlayabilir. İki nicel değişken arasındaki ilişkiyi serpme diyagramı, bölgelere göre sayım oranı veya korelasyon katsayısıyla incelemek için her öğrenciden iki sayısal ölçüm gerekir.

Düzeltme örneği: “Telefonunun ekran süresi raporuna göre son beş hafta içi gün, günde ortalama kaç saat ekran başındaydın?” ve “Aynı günlerde gecede ortalama kaç saat uyudun?” Böylece aynı öğrenciden aynı dönem için iki sayı elde edilir.

x = 150 / 10 = 15 °C ve y = 1000 / 10 = 100 adet.

I. bölgede 1 nokta (16; 104), III. bölgede 1 nokta (14; 96) vardır: pozitif yönü destekleyen 2 nokta. II. bölgede 4, IV. bölgede 4 nokta vardır: negatif yönü destekleyen 8 nokta.

BSO = (2 − 8) / 10 = −0,6

BSO negatiftir ve r = −0,97 değeri −1’e çok yakındır: sıcaklık ile sıcak içecek satışı arasında negatif yönlü, güçlü bir doğrusal ilişki vardır. Sıcaklık arttıkça satış azalma eğilimindedir.

Öneri: Hava tahmininde sıcaklığın düşük olacağı günlerde daha fazla sıcak içecek malzemesi hazırlanmalı, sıcak günlerde hazırlık azaltılmalıdır.

Sınırlılık (biri yeterli): Veri yalnızca 10 günlük ve tek mevsime aittir; hafta sonu, yağmur veya özel günler gibi başka etkenler de satışı etkileyebilir; ilişki tek başına neden-sonuç kanıtı değildir.

A → 0,05   B → −0,91   C → 0,87   D → −0,38

B ve D’de noktalar sağa doğru alçalır (negatif yön). B’de noktalar bir doğruya çok yakındır (−0,91), D’de dağınıktır (−0,38). C’de noktalar sağa doğru yükselir ve bir doğruya yakındır (0,87). A’da belirgin bir eğilim yoktur (0,05).

B veri setinde (r = −0,91). Doğrusal ilişkinin gücü r’nin mutlak değerine bağlıdır: |−0,91| = 0,91, C’nin 0,87 değerinden büyüktür. İşaret yalnızca yönü gösterir; r’nin negatif olması ilişkinin zayıf olduğu anlamına gelmez.

Çürütülür. Veriler, iki değişken arasında pozitif yönlü güçlü bir ilişki olduğunu gösterir (r ≈ 0,96); bu kısım doğrudur. Ancak iki nicel değişkenin ilişkili olması, aralarında neden-sonuç ilişkisi olduğu anlamına gelmez. Dondurma satışının yanığa yol açtığını gösteren bir veri yoktur; bu yüzden “satış sınırlandırılmalı” sonucu verilerle desteklenmez.

Hava sıcaklığı (ya da güneşli gün sayısı, güneşte kalma süresi). Sıcak ve güneşli haftalarda hem dondurma alan kişi sayısı hem de güneşte uzun süre kalan, dolayısıyla güneş yanığı olan kişi sayısı artar. İki değişken bu ortak etken yüzünden birlikte artar; biri diğerinin nedeni değildir.

[AC] köşegeni dörtgeni ABC ve ACD üçgenlerine ayırır. ABC üçgeninde m(BAC) + m(ABC) + m(BCA) = 180°, ACD üçgeninde m(CAD) + m(ACD) + m(CDA) = 180°’dir.

Dörtgen dışbükey olduğundan köşegen dörtgenin içinden geçer: m(BAC) + m(CAD) = m(DAB) ve m(BCA) + m(ACD) = m(BCD). İki eşitlik toplanınca m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 360° bulunur.

B, C ve E doğrusal olduğundan m(BCD) = 180° − 115° = 65°.

İç açılar toplamı 360° olduğundan m(ADC) = 360° − (100° + 70° + 65°) = 125°.

ABC ve ADC üçgenlerinde |AB| = |AD|, |CB| = |CD| ve [AC] ortak kenardır. K.K.K. eşliğinden ABC ≅ ADC, dolayısıyla m(BAC) = m(DAC): [AC], A açısının açıortayıdır.

ABD üçgeni ikizkenardır (|AB| = |AD|). İkizkenar üçgende tepe açısının açıortayı tabana diktir ve tabanı ortalar: [AC] ⊥ [BD] ve |BE| = |ED|. Böylece B ile D, AC doğrusuna göre birbirinin simetriğidir; [AC] deltoidin simetri eksenidir.

A(ABCD) = A(ABC) + A(ADC). İki üçgenin tabanı ortak [AC]’dir; AC ⊥ BD olduğundan yükseklikleri |BE| ve |ED|’dir. A(ABCD) = |AC|·|BE| / 2 + |AC|·|ED| / 2 = |AC|·(|BE| + |ED|) / 2 = |AC|·|BD| / 2.

|AC| = 15 + 48 = 63 cm. Alan = 63 · 40 / 2 = 1260 cm².

|BE| = |ED| = 20 cm. ABE dik üçgeninde |AB| = √(15² + 20²) = 25 cm; CBE dik üçgeninde |CB| = √(48² + 20²) = √2704 = 52 cm. Şerit = 2 · (25 + 52) = 154 cm.

ABC üçgeninde |BK| / |BA| = |BL| / |BC| = 1/2 ve B açısı ortaktır. K.A.K. benzerliğinden BKL ~ BAC, benzerlik oranı 1/2’dir. Buradan KL // AC ve |KL| = |AC| / 2.

Aynı yolla ADC üçgeninde NM // AC ve |NM| = |AC| / 2. Böylece KL // NM ve |KL| = |NM|. Karşılıklı bir kenar çifti hem paralel hem eş olan dörtgen paralelkenardır.

|KL| = |NM| = 12 / 2 = 6 cm. Aynı yolla BCD ve BAD üçgenlerinden |LM| = |KN| = 16 / 2 = 8 cm. Ç(KLMN) = 2 · (6 + 8) = 28 cm.

Dikdörtgen. KL // AC ve LM // BD’dir. AC ⊥ BD olduğundan KL ⊥ LM olur. Bir açısı dik olan paralelkenar dikdörtgendir.